РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1612 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: IV

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми, 3\.2\. Правильная треугольная пирамида

Разные задачи

ABCA₁B₁C₁  — правильная треугольная призма, у которой AB  =  5, AA₁  =  5. Точки Р и Q  — середины ребер АВ и А₁С₁ соответственно. Найдите значение выражения $дробь: числитель: 36, знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби ,$ где $\varphi$   — угол между прямыми PQ и АВ₁.

Решение. Введем систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек P и Q как координаты середин соответствующих отрезков. Имеем: $A левая круглая скобка 0; 0; 0 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка ,$ $A_1 левая круглая скобка 0; 0; 5 правая круглая скобка ,$ $C_1 левая круглая скобка 0; 5; 5 правая круглая скобка ,$ откуда $P левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; 0 правая круглая скобка ,$ $Q левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; 5 правая круглая скобка .$ Следовательно,

$\overrightarrowPQ левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ;5 правая круглая скобка ,$       $\overrightarrowAB_1 левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;5 правая круглая скобка .$

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых:

$косинус левая круглая скобка \widehatPQ;AB_1 правая круглая скобка =| косинус левая круглая скобка \widehat\overrightarrowPQ;\overrightarrowAB_1 правая круглая скобка | =$

$= дробь: числитель: \left| левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби плюс 5 умножить на 5|, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 75, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 75 умножить на 2, знаменатель: 25 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента умножить на 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 20 конец дроби .$ $= дробь: числитель: \left| левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби плюс 5 умножить на 5|, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: дробь: числитель: 75, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 75 умножить на 2, знаменатель: 25 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента умножить на 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 20 конец дроби .$

Найдем значение искомого выражения:

$дробь: числитель: 36, знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: косинус в квадрате левая круглая скобка \widehatPQ;AB_1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: дробь: числитель: 90, знаменатель: 400 конец дроби конец дроби =160.$

Ответ: 160.

Ответ: 160

1612

160

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: IV

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми, 3\.2\. Правильная треугольная пирамида

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1612	160